实验 08：采样与 Delta 算子 | OpenCode + MATLAB 入门课程

Lab 08：采样与 Delta 算子

本实验从 Lab 7 中的固定递推继续前进，引入采样周期 T。Lab 7 使用给定矩阵直接计算下一状态；这里先从 Delta 定义推导更新矩阵，再复用相同的“预分配、逐步更新、导出和验证” 流程。你将看到同一个连续模型如何产生不同采样精度的离散轨迹，并理解 Delta 算子为什么适合连接连续时间和离散时间描述。

开始前复用 Lab 4 的 Git 检查点流程：用 git status 确认工作区干净；确认误差表、长表与图像一致后，按相同方法提交 Lab 8 检查点。

学习目标

理解 Delta 算子是采样状态的一阶差商。
从 \(\delta\boldsymbol{x}(k)=A_\delta\boldsymbol{x}(k)\) 推导一步更新矩阵。
用 expm 生成线性连续系统的参考解。
把采样误差整理为表格和可复现图像。

目录结构

labs/lab08/
  delta_operator_demo.m
  results/
    sampling-errors.csv
    sampling-trajectories.csv
  figures/
    sampling-comparison.png
  notes.md

小知识：Delta 算子不是 Dirac delta

控制论中的 Delta 算子 \(\delta\) 在这里表示采样差商；数学分析中的 Dirac delta 则是一种广义函数。符号相同不代表对象相同。在技术写作中，第一次使用符号时给出明确定义，比依赖读者猜测更可靠。

理论问题

采样时刻与移位算子

设连续轨迹为 \(\boldsymbol{x}(t)\)，每隔 \(T>0\) 秒观测一次。第 \(k\) 个采样时刻和对应样本记为：

\[ t_k=kT,\qquad \boldsymbol{x}(k)=\boldsymbol{x}(t_k). \]

移位算子 \(q\) 把序列向前移动一个采样点：

\[ q\boldsymbol{x}(k)=\boldsymbol{x}(k+1). \]

Delta 算子由移位算子归一化得到：

\[ \delta=\frac{q-I}{T},\qquad \delta\boldsymbol{x}(k) =\frac{\boldsymbol{x}(k+1)-\boldsymbol{x}(k)}{T}. \]

当轨迹可微时，必须固定物理时刻 \(t\) 再讨论 \(T\to0\)：

\[ \lim_{T\to0}\frac{\boldsymbol{x}(t+T)-\boldsymbol{x}(t)}{T} =\dot{\boldsymbol{x}}(t). \]

因此，当采样时刻 \(t_k\) 逼近固定的 \(t\) 时，Delta 差商逼近该时刻的连续导数。在固定的非零 \(T\) 下，Delta 算子仍是离散序列上的差分算子，不能直接把它当成连续导数。

Delta 模型与一步更新

\[ \delta\boldsymbol{x}(k) =A_\delta\boldsymbol{x}(k). \]

把 Delta 定义代入模型可得：

\[ \boldsymbol{x}(k+1)=(I+T A_\delta)\boldsymbol{x}(k), \qquad A_q=I+T A_\delta. \]

因此，对已经用 \(A_\delta\) 描述的离散 Delta 模型，\(A_q=I+T A_\delta\) 是同一个模型在移位形式下的一步更新矩阵。

本实验使用阻尼振子：

\[ A_\delta=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-0.6\end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. \]

连续模型、精确采样与 Euler 近似

若起点是无输入连续系统 \(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=A_c\boldsymbol{x}(t)\)，那么在采样时刻之间精确传播得到：

\[ A_q^{\mathrm{exact}}=e^{A_cT},\qquad A_\delta^{\mathrm{exact}}=\frac{e^{A_cT}-I}{T}. \]

本实验为了观察数值离散误差，把同一个数值矩阵同时写成 Starter 中的 AContinuous = ADelta，并使用 \(I+T A_c\) 近似 \(e^{A_cT}\)。这一步是前向 Euler 近似；AContinuous = ADelta 只是本算例的比较设定，不是通用恒等式。若研究从连续模型出发并要求精确采样，应使用上面的矩阵指数关系，而不是直接令 \(A_\delta=A_c\)。

特征值与采样稳定性

若 \(\lambda_\delta\) 是 \(A_\delta\) 的特征值，那么对应一步矩阵的特征值为：

\[ \lambda_q=1+T\lambda_\delta. \]

离散线性系统渐近稳定要求所有一步特征值位于单位圆内，即 \(|1+T\lambda_\delta|<1\)。因此 \(T\) 不只影响曲线是否精细，也可能影响 Euler 离散模型的稳定性。连续系统的稳定特征值经精确采样映射为 \(e^{T\lambda_c}\)；Euler 使用的 \(1+T\lambda_c\) 在 \(T\) 较大时可能越出单位圆。

后续实验会把同一骨架扩展为有模式和输入的 Delta 模型：

\[ \delta\boldsymbol{x}=A_i\boldsymbol{x}+B_i\boldsymbol{u},\qquad \boldsymbol{x}(k+1)=(I+T A_i)\boldsymbol{x}(k)+T B_i\boldsymbol{u}(k). \]

Lab 9 让模式 \(i\) 随时间切换，Lab 10 再加入状态反馈。无论模型如何扩展，一步更新都应从 Delta 定义推导，而不是凭代码形状猜测。

公式到代码

对 \(T\in\{0.5,0.1,0.02\}\) 分别构造：

Aq = eye(2) + T * ADelta;
x(:, k + 1) = Aq * x(:, k);

第二行与 Lab 7 的 x(:, k + 1) = A * x(:, k) 具有相同结构。新增工作集中在第一行： Aq = eye(2) + T * ADelta 把采样周期和 Delta 矩阵组合成每一步真正使用的更新矩阵。

连续参考解使用矩阵指数：

xReference(:, k) = expm(AContinuous * time(k)) * x0;

本实验令 \(A_{\mathrm{continuous}}\) 与代码中的 ADelta 取相同数值，因此比较的是该连续生成矩阵的精确轨迹与前向 Euler 轨迹。比较时必须让它们位于同一组采样时刻。

MATLAB 实验

完成 delta_operator_demo.m，总时间设为 10。
对三个采样步长分别保存时间向量、状态轨迹和参考轨迹。
计算每个时刻的 2-范数误差，以及全程最大误差。
将每个 T 的步数、末端误差和最大误差写入汇总表 sampling-errors.csv。
将每个采样时刻写入长表 sampling-trajectories.csv，列固定为 T、time、x1、x2、referenceX1、referenceX2 和 error。每行只对应一个采样周期和一个时刻。
用三个子图比较 x1(t)，统一坐标范围，并叠加连续参考解。
清空工作区后重新运行，确认输出路径与当前启动位置无关。

不要为了得到“好看”的结果删掉 \(T=0.5\)。较粗采样展示了方法的局限，是解释结果的重要部分。

数学验证

先选一个非零时刻，直接检查 Delta 定义：

deltaFromStates = (x(:, k + 1) - x(:, k)) / T;
deltaFromModel = ADelta * x(:, k);
definitionResidual = norm(deltaFromStates - deltaFromModel);

随后检查：

三组实验的终止时间都等于 10。
T 减小时，步数按预期增加。
最大误差整体下降；若没有下降，检查时间索引和参考解采样点。
\(T=0.5\) 的差异不是 MATLAB 故障，而是低阶离散化的数值误差。

这些结果支持“在当前模型和时间区间内，更小采样步长给出更小 Euler 误差”，不能推出任意系统、任意 T 都满足同样结论。

结果与记录

保留一张比较图、一个误差汇总表和一张逐时刻长表。sampling-errors.csv 适合直接比较三组参数；sampling-trajectories.csv 允许以后不重新运行 MATLAB 就复绘曲线或检查任意时刻。正文式描述应同时包含方法、指标和限制，例如：

> 在 0 到 10 的区间内，以矩阵指数解为参考，比较三个采样周期下 Delta 更新的最大状态误差。采样周期减小时，本算例的误差下降。

notes.md 还应写明 \(A_q=I+T A_\delta\) 是本实验使用的离散更新关系，避免把 \(A_q\) 和 \(A_\delta\) 混为同一个矩阵。

OpenCode 审计

复用 Lab 4 的工作流。输入 /models，确认当前模型是 DeepSeek V4 Pro，再按 Tab 进入 Plan 模式并输入：

请检查 labs/lab08/delta_operator_demo.m。

重点检查：
1. δx(k)=(x(k+1)-x(k))/T 是否与代码更新完全一致；
2. 讲义中的精确采样关系与前向 Euler 近似是否被代码和注释明确区分；
3. 三个采样周期是否使用相同终止时间和初值；
4. expm 参考解是否在相同时间点计算；
5. 误差表和图像是否可从脚本重新生成；
6. 结果描述是否错误地把数值收敛说成理论证明。

请先列出检查依据，再给出最小修改建议。不要替换模型参数。

如果建议把所有计算改成工具箱函数，应拒绝这一修改：本实验需要显式保留公式到代码的对应关系。接受计划后按 Tab 进入 Build 模式。修改完成后，在第二个 PowerShell 终端运行 git status 和 git diff -- labs\lab08，再重新执行数值验证。

完成标准

能从 Delta 定义推导 \(A_q=I+T A_\delta\)。
能解释移位算子、Delta 算子、精确采样矩阵和 Euler 更新矩阵之间的区别。
能用 \(\lambda_q=1+T\lambda_\delta\) 解释采样周期为何会影响离散稳定性。
sampling-errors.csv 包含三组可核对指标。
sampling-trajectories.csv 的列名和每个采样周期的行数都能与脚本对应。
图像与文字准确表达采样步长的影响，不夸大结论。
提交 Lab 8 检查点后，git status 显示工作区干净。

完整讲义