实验 09：切换与脉冲系统仿真 | OpenCode + MATLAB 入门课程

Lab 09：切换与脉冲系统仿真

Lab 8 只有一个系统矩阵。本实验加入随时间变化的模式 \(\sigma(k)\)，并允许切换时刻发生瞬时状态映射。重点不是堆叠条件判断，而是把事件顺序写成清晰、可核对的模型。

开始前复用 Lab 4 的 Git 检查点流程：用 git status 确认工作区干净；事件表、退化测试和首个脉冲手算都通过后，按相同方法提交 Lab 9 检查点。

学习目标

用模式序列表示切换信号。
区分模式切换和脉冲映射。
把仿真循环封装为可复用函数。
用事件表验证切换前后状态和操作顺序。

目录结构

labs/lab09/
  switched_impulsive_demo.m
  simulateDeltaSwitched.m
  results/
    event-table.csv
  figures/
    switched-state.png
  notes.md

小知识：切换与脉冲是两种不同事件

切换改变系统当前采用的动力学矩阵；脉冲则让状态在某个时刻发生瞬时映射。它们可以同时出现，也可以分别出现。程序若只用一个布尔变量混合两种含义，后续理论符号和实验记录都会变得含糊。

理论问题

考虑两个模式的 Delta 算子系统。为避免把瞬时跳变和一步状态更新混在一起，先区分同一采样时刻的左右状态：

\[ \boldsymbol{x}(k^-)=\text{脉冲前状态},\qquad \boldsymbol{x}(k^+)=\text{脉冲后状态}. \]

讲义中的数学更新时刻从 \(k=0\) 开始，MATLAB 循环索引则从 k=1 开始。若记数学更新时刻为 \(n=k-1\)，那么 MATLAB 数组 x(:,k) 保存 \(\boldsymbol{x}(n^-)\)， xTilde(:,k) 保存 \(\boldsymbol{x}(n^+)\)，modeSequence(k) 保存 \(\sigma(n)\)。后面的理论公式继续使用数学索引 \(k\)，代码说明则明确保留这一个单位的偏移。

同一数学时刻的左右状态关系定义为：

\[ \widetilde{\boldsymbol{x}}(k)=\boldsymbol{x}(k^+)= \begin{cases} M_{\sigma(k)}\boldsymbol{x}(k^-), & \text{脉冲时刻},\\ \boldsymbol{x}(k^-), & \text{普通时刻}. \end{cases} \]

瞬时映射结束后，定义这一采样步的流动起点 \(\boldsymbol{z}(k):=\boldsymbol{x}(k^+)\)。从右状态到下一时刻脉冲前状态的 后跳变流动差商为：

\[ \frac{\boldsymbol{x}((k+1)^-)-\boldsymbol{z}(k)}{T} =A_{\sigma(k)}\boldsymbol{z}(k), \]

也就是

\[ \boldsymbol{x}((k+1)^-) =(I+T A_{\sigma(k)})\boldsymbol{z}(k). \]

这个差商描述跳变后的局部流动，不是对 Lab 8 中 \(\delta\boldsymbol{x}(k)=[\boldsymbol{x}(k+1)-\boldsymbol{x}(k)]/T\) 的重新定义。普通时刻没有跳变，\(\boldsymbol{z}(k)=\boldsymbol{x}(k^-)=\boldsymbol{x}(k)\)，因此立即恢复 Lab 8 的 \(\boldsymbol{x}(k+1)=(I+T A_{\sigma(k)})\boldsymbol{x}(k)\)。

因此本实验采用固定操作顺序：

读取当前模式 σ(k)
        ↓
读取脉冲前状态 x(k−)
        ↓
若有脉冲，计算 x(k+)=Mσx(k−)；否则 x(k+)=x(k−)
        ↓
从 z(k)=x(k+) 计算后跳变流动并更新 x((k+1)−)
        ↓
记录模式、事件和状态

顺序是模型定义的一部分。把脉冲放到动力学更新之后，会得到另一个系统。

从脚本到函数

Lab 7 和 Lab 8 的计算都写在单个脚本中。本实验首次把重复仿真循环放进函数，因此需要认识 MATLAB 的函数、cell 数组与 struct：

function result = simulateDeltaSwitched(A, M, modeSequence, impulseMask, T, x0)

括号中的变量是函数输入，result 是输出。A 和 M 是 cell 数组，使用 A{mode} 取得当前模式的矩阵；花括号表示取出 cell 中保存的矩阵，而不是保留一个 cell 容器。

result = struct("x", x, "modeSequence", modeSequence);

struct 把相关结果放在带名字的字段中，之后可通过 result.x 和 result.modeSequence 访问。 Starter 会完整保留无脉冲状态更新，只把脉冲机制留作新增部分。这样可以先确认熟悉的 Delta 递推仍然正确，再检查新事件是否改变了指定时刻。

公式到代码

把每个模式矩阵放在 cell 数组中：

A = {
    [0.2, 1.0; -1.0, -0.4],
    [-0.1, 0.6; -0.8, 0.1]
};
M = {1.10 * eye(2), 1.05 * eye(2)};

由于 MATLAB 索引从 1 开始，modeSequence(k) 保存的是 \(\sigma(k-1)\)，impulseMask(k) 记录数学时刻 \(k-1\) 是否发生脉冲。函数接口使用结构体返回状态、脉冲后状态和事件信息：

result = simulateDeltaSwitched(A, M, modeSequence, impulseMask, T, x0);

不要在函数内部隐藏模式序列的生成规则。主脚本负责定义实验，仿真函数只执行给定模型。

MATLAB 实验

设计三组逐步增加复杂度的工况：

工况	模式	脉冲	目的
A	始终为模式 1	无	回归到 Lab 8 的单模式更新
B	每 10 步切换	无	隔离模式切换的影响
C	每 10 步切换	切换时应用 `M`	观察脉冲与切换共同作用

先只运行工况 A，核对前两步。
再运行工况 B，检查第一个切换点的矩阵选择。
最后运行工况 C，保存每次事件的 k、切换前模式、当前模式、脉冲前状态和脉冲后状态。
图上方绘制阶梯状切换信号，下方绘制两个状态分量。
将工况 C 的事件记录写入 event-table.csv。

数学验证

对第一个脉冲切换时刻，手算并逐项比较：

\[ \boldsymbol{x}(k^+)=M_2\boldsymbol{x}(k^-),\qquad \boldsymbol{x}((k+1)^-)=(I+T A_2)\boldsymbol{x}(k^+). \]

程序还应检查以下不变量：

modeSequence 的长度等于仿真步数。
模式编号只能是 1 或 2。
impulseMask 与模式序列长度相同。
工况 A 与直接使用固定 A1 的结果一致。
当所有 M 都改成单位矩阵时，工况 C 退化为工况 B。

最后一项是很有价值的退化测试：关闭新增机制后，代码应回到已经理解的简单情形。

结果与记录

事件表应允许读者重建“何时切换、何时施加脉冲”。图注不能只写“系统响应”，而应说明模式规则、采样周期和是否包含脉冲。

notes.md 用一小段伪代码记录事件顺序，再回答：当前图像展示了哪些有限轨迹？哪些长期稳定性问题仍需理论分析？

OpenCode 审计

复用 Lab 4 的工作流。输入 /models，确认当前模型是 DeepSeek V4 Pro，再按 Tab 进入 Plan 模式并输入：

请检查 labs/lab09 的切换脉冲系统仿真。

模型约定：MATLAB 循环索引 k 对应数学时刻 n=k-1；x(:,k) 是 x(n-)，
xTilde(:,k) 是 z(n)=x(n+)。先确定当前模式；
若 impulseMask(k) 为真，做 xTilde=M{mode}*x，否则 xTilde=x；然后从 xTilde
计算 deltaX=A{mode}*xTilde，最后更新下一时刻的脉冲前状态
xNext=xTilde+T*deltaX。不要把这个后跳变流动差商重新定义成 Lab 8 的 delta*x。

请：
1. 逐行核对 simulateDeltaSwitched.m 是否遵守这个顺序；
2. 检查无切换、仅切换、切换加脉冲三个工况能否隔离不同机制；
3. 检查事件表是否足以人工复算第一个脉冲时刻；
4. 增加必要的尺寸断言，但不要引入额外工具箱；
5. 指出图像不能回答的稳定性问题。

如果 OpenCode 把脉冲改到更新之后，即使代码更短也应拒绝，因为这改变了数学模型。接受计划后按 Tab 进入 Build 模式。修改完成后，在第二个 PowerShell 终端运行 git status 和 git diff -- labs\lab09，再按事件顺序重新验证。

完成标准

三个工况可以从同一仿真函数生成。
第一个切换脉冲时刻能够手算复核。
事件表、图像和文字采用同一套事件顺序。

完整讲义